刑事拘留是公安机关或人民检察院在侦查过程中，遇到法定紧急情况时，对现行犯或者重大嫌疑分子采取的一种临时剥夺其人身自由的强制措施。刑事拘留本身由公安机关决定并执行，但刑事拘留后的批捕（即正式逮捕）则需要经过人民检察院或人民法院的批准或决定。具体来说：

刑事拘留的审批机关是县级以上公安机关，根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第一0六条的规定，刑事拘留既可以由正职负责人审批，也可以由副职负责人审批，而其他人则无权进行刑事拘留的审批。

对于刑事拘留后的批捕，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十条的规定，逮捕犯罪嫌疑人、被告人，必须经过人民检察院批准或者人民法院决定，由公安机关执行。因此，刑事拘留后的批捕主要由人民检察院和人民法院来负责。

在具体操作过程中，公安机关在对犯罪嫌疑人采取刑事拘留措施后，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准逮捕。人民检察院应当在收到提请批准逮捕书后七日以内作出是否批准逮捕的决定；未被拘留的，应当在收到提请批准逮捕书后十五日以内作出是否批准逮捕的决定，重大、复杂案件，不得超过二十日。

综上所述，刑事拘留的批捕主要由人民检察院和人民法院来负责，但具体操作过程中涉及多个机关和部门的合作与协调。公安机关负责刑事拘留的决定和执行，而人民检察院和人民法院负责刑事拘留后的批捕。

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相关法条1.《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十条

2.《公安机关办理刑事案件程序规定》第一0六条

3.《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条

4.《人民检察院刑事诉讼规则》第二百八十二条