根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，刑事案件的侦查通常由公安机关负责。对于故意伤害罪这类犯罪行为，公安机关负责进行侦查工作，包括收集证据、询问证人、讯问嫌疑人等。在侦查过程中，公安机关需要确保程序合法、证据确凿，并且尊重和保障犯罪嫌疑人的合法权益。

当公安机关认为案件事实清楚、证据确实充分，并且认为犯罪嫌疑人已经构成犯罪时，应当将案件移送给人民检察院审查起诉。人民检察院在收到案件后，会对案件进行全面审查，包括事实、证据、法律适用等，并最终决定是否提起公诉。

因此，对于故意伤害罪的侦查和起诉责任通常由公安机关负责侦查，并在侦查终结后向人民检察院移送审查起诉；而人民检察院则负责对案件进行全面审查，并最终决定是否提起公诉。

LFA小编建议如果您或他人涉嫌故意伤害罪，建议积极配合公安机关的侦查工作，并在必要时寻求专业律师的帮助，以确保自己的合法权益得到保护。

相关法条1.《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百六十二条

2.《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百六十九条